Родился 16 августа 1925 года в валдайской деревне Дуплево. В 1927 году семья переехала в Ленинград. Осенью 1941 года в блокадном Ленинграде работал слесарем в авторемонтных мастерских. В 1942 году был эвакуирован в Пермскую область. Работал там монтером и кочегаром в детском доме. После окончания пехотного училища Погодин был отправлен в действующую армию. Участвовал в освобождении Украины, форсировал Днепр, был ранен. После госпиталя стал разведчиком. Освобождал Люблин, Варшаву, брал Берлин. Награжден двумя орденами Красной Звезды и Орденами Славы II и III степени. После демобилизации работал в пожарной охране в Москве, печатался в ведомственной многотиражной газете «Боевой сигнал». 

В 1953 году переехал в Йошкар-Олу, где работал на радио. В 1954 году Погодин вернулся в Ленинград. В альманахе «Дружба» был опубликован его первый рассказ: «Мороз», а в 1957 году издана первая книга писателя «Муравьиное масло». В 1959 году Погодин был принят в Союз писателей СССР.
О войне Радий Петрович начал писать только в начале 1970-х годов. Первые рассказы о войне вошли в повесть «Где леший живет». Затем вышли повести «Живи, солдат», «Мост», «Боль» и «Я догоню вас на небесах». Все они во многом автобиографичны, как и некоторые его детские рассказы. 
В 1982 году Радий Погодин был награжден Премией Союза писателей РСФСР и Почетным Дипломом Международного Совета по детской и юношеской литературе имени Ханса Кристиана Андерсена за книгу «Перейти речку вброд». В 1985 году стал лауреатом Государственной премии РСФСР имени Н. К. Крупской за книгу «Лазоревый петух моего детства». В 1989 году награжден Международной премией имени М. Горького за книгу «Книжка про Гришку» и Дипломом 1 степени XXX Всероссийского конкурса «Искусство книги» за книгу «Земля имеет форму репы».

С детской литературой Радий Петрович не расставался, писал сказки. Написано для детей более двадцати книг. Последняя сказка «Про девочку Полечку и ее одинокую жизнь» была написана в 1992 году.
Войне посвящен его последний незавершенный рассказ «Афина-Паллада». В последние годы жизни Радием Погодиным была написана повесть «Одинокая на ветру», а также рассказы, вошедшие в книгу «Река». Цикл совсем коротких рассказов, он хотел назвать его - «Мешок рассказов» - был посвящен воспоминаниям детства и жизни последнего времени. Радий Петрович не успел завершить этот цикл.